巴中教育>>校校通>>南江县长赤中学

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 勾股数初探

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　四川省南江县长赤中学李彬

　　若一个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，则有a2+b2=c2，这就是勾股定理。满足a2+b2=c2的三个正整数a、b、c叫做勾股数。

　　考古发现，在公元前1900~前1600年的一块巴比伦泥板中，记载有15组勾股数，其中包括（3367，3456，4825），（12709，13500，18541）这样一些数值很大的勾股数组。人们猜想当时很可能就有求勾股数的公式了。

　　现在我们可以利用一些公式轻而易举地写出很多勾股数。下面介绍几个求勾股数的常见公式。
　　(一)2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1 （n是正整数）
　　(二)n2-1，2n，n2+1 （n≥2且n为正整数）
　　(三)m2-n2，2mn，m2+n2 （m＞n，m、n都是正整数）

　　运用我们已有的知识不难证明这些公式。

　　请你根据以上公式写出几组勾股数，观察这些勾股数组，探索下列问题。
　　(1)有最小的勾股数吗？有最大的勾股数吗？
　　(2)勾股数可以全部都是奇数或偶数吗？为什么？
　　(3)勾股数中能否只有两个偶数？为什么？
　　(4)将一组勾股数同时乘以一个正整数，得到的数组是勾股数吗？
　　(5)是否存在都是质数的勾股数？若存在，举出一组；若不存在，说明理由。
　　参考答案：
　　(1)有最小的勾股数组(3、4、5)，没有最大的勾股数组。
　　(2)勾股数不能全是奇数，但可以全部是偶数。因为，若a、b、c都是奇数，则a2、b2、c2也是奇数，而奇数+奇数≠奇数，即a2+b2≠c2，所以勾股数不可能全是奇数。
　　(3)不能。若较小的两数a、b为偶数，则a2+b2为偶数，而c2为奇数，所以a2+b2≠c2；若最大数c为偶数，则a2+b2为奇数，c2为偶数。所以勾股数中不可能有两个偶数。
　　(4)是。若a2+b2=c2，则(ka)2+(kb)2=k2a2+k2b2=k2(a2+b2)=k2c2（k为正整数）。反过来，若一组勾股数中的每一个数都能被某个正整数整除，则它们的商仍组成勾股数。
　　(5)不存在。因为质数中，除最小的2是偶数外，其余都是奇数。而最小的勾股数组中的数3＞2，由上述问题（2）知，三个奇数不可能构成勾股数。

　　此文已于2004-7-5发表在山西教育出版社主办的《学习报》北师大版八年级第1期（总第97期）