数的开方学习指津——华东师大版

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　四川省巴中市南江县长赤中学李彬

　　数学名言在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有哪些问题没有解决，需要我们去探索解决。——华罗庚

　　数的开方是继前面我们已熟悉的加、减、乘、除、乘方之后的又一种新的运算，是数学学习中的必不可少的内容。学了这一部分，我们对数的认识又会产生一次飞跃 ! 基础知识精要本章的基础知识包括:

　　1、平方根、算术平方根、立方根的意义及它们之间的关系。平方根（立方根）与平方（立方）间的联系； 　　2、二次根式、同类二次根式、最简二次根式的概念及有关性质，二次根式的四则运算；

　　3、无理数和实数的概念。


　　　　　　　　　　　　　
知识结构 　　　　　　　

　　重点难点突破
　　重点:平方根、算术平方根的概念和求法，二次根式的化简与运算。　难点：算术根、无理数、实数的概念，探索理解和运用

　　学习本章的关键：正确理解平方根、算术平方根、无理数、实数等概念，正确认识与运用二次根式的概念和性质。

　　1、平方根与算术平方根
　　平方根与算术平方根是两个容易混淆的概念，要抓住平方根（立方根）与平方（立方）之间的关系，它们互为逆运算，即可以通过平方（立方）来求 ( 算术) 平方根（立方根），也可以用来检验开平方（开立方）的正确性。下面列表对平方根和算术平方根进行比较。

概念	记法	读法	计算结果的个数及符号
			a＞0	a＝0		a＜0
a的平方根		正负根a号	两个（它们互为相反数）	0	无
a的算术平方根		根号a	一个（正）	0	无

2、平方根与立方根
　　2.1a的立方根记作 ，读作a的立方根或a的三次方根。它与平方根的区别是：被开方数a的取值范围不同： 中，a只能取非负数，而 中，a可取任意实数；

　　2.2  非负数a的平方根除0外（0的平方根是0）都有两个，它们互为相反数。而a的立方根只有一个， 的符号与a一致。




　　3 二次根式


　　3.1 二次根式的概念：形如 (a≥0)的式子叫做二次根式；

　　3.2 二次根式的基本性质

　　（1） ≥0(a≥0)
　　　（2） ）²=a（a≥0）

　　通过探索可以得到 (a≥0)

　　（3） =|a|=- (a＜0)


　　注意： 中的a可取任何实数


　　3.3二次根式的乘除
　　（1）乘法 = (a ≥0, b≥0) 除法 a≥0,b＞0)

　　3.4二次根式的加减
　　先将二次根式化简，然后合并同类二次根式，与整式加减中合并同类项类似。

　　4实数与数轴

　　4.1 实数系表
　　正有理数

　　有理数0有限小数或循环小数

　　实数 负有理数

正无理数

　无理数 无限不循环小数　负无理数

　　或

　　正有理数　正实数

　　实数0正无理数

　　负实数 负有理数 12.0pt;font-family:宋体;"Times New Roman"'>　　负无理数


　　我们目前所学的无理数可分为三类：（1）开方开不尽的数。如： ， ， ，

　　( 2）π类。如3π， π，-2π，…

　　（3）不循环的无限小数。如：1.2020020002（每两个之间依次多一个0）

　　4.2有理数中的一些概念（如相反数、绝对值等）及一些关系（大小关系、运算法则、运算律等）在实数范围内仍然成立。

　　4.3实数与数轴上的点是一一对应的。
本章的知识点虽然不多，但易混概念不少。下面举一些典型例题进行剖析。 例1下列各数中没有平方根的是（）　　A. 64B. (-2)2C. -22 D. 解：选C评注：负数没有平方根和算术平方根。-22是一个负数，其余三个选项中的数都是正数。

　　例2下列说法：① 的算术平方根是 ，② 的平方根是± ，③27的立方根的平方根是 ④64的平方根的立方根是±2，⑤ 与 是同类二次根式，⑥ 、 和 都是最简二次根式。正确的有（)A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 解：选B

　　说明：上述说法中，只有②、④、⑤是正确的。 的算术平方根是，27的立方根的平方根是± ， 不是最简二次根式。

　　例3计算（1） （2）± （3） （4）

　　解：（1） = = × =4

　　（2）± =±

　　（3） =- =-1.1

　　(4) = = =-4

　　说明：解本题的关键在于了解每个式子所表示的意义。 表示求32的算术平方根（化简 ，通常将它写成 的形式，再逆用二次根式乘法的性质 = . =x (x≥0,y≥0)）；± 表示求 （即 ）的平方根；而- 表示求1.21的负的平方根（或1.21的算术平方根的相反数）。只要a＞0， 、 、 结果的符号由根号前的符号确定；数a的立方根的符号与a一致。


　　例4 △ABC的三边长为a、b、c，其中a、b满足 +b2-6b+9=0，求c的取值范围。

　　解： +b2-6b+9= +(b-3)2=0
　　∵ ≥0，(b-3)2≥0，由非负数的和为0的性质可知， =0，(b-3)²=0，解得a=2，b=3，∴1＜c＜5

　　说明：几个非负数之和为0，只有当这几个非负数都为0时成立。三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

　　例5、（2004西宁市）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么 有意义x的取值范围是（）A.x≤10B.x≥10C.x＜10 D.x＞10

　　解：选>A说明：由于 与 是最简二次根式，又是同类二次根式，所以必有3a-8=17-2a，解得a=5。要使 有意义，必须4a-2x≥0，把a=5代入此不等式，解得x≤10

　　例6、（2004杭州市）有下列说法：①有理数与数轴上的点一一对应，②不带根号的数一定是有理数，③负数没有立方根，④ 是17的平方根，其中正确的有（）

　　A. 0个B. 1个 C. 2个 D.3个解：选B说明：只有④是正确的。

　　例7、（2004南通）计算：

　　解：Ⅰ 原式

　　Ⅱ 原式=

　　Ⅲ原式

　　说明：计算原式中 部分虽然有多种方法——直接分母有理化或先化简分子或利用除法的性质等，但计算 采用直接相乘更简便，若先化简后再计算就显得较麻烦。

　　例8(2004武汉）已知xy＞0，化简 的正确结果为（  ）

　　A. B. C. D. 解：选D

　　说明：因为xy＞0，所以x，y同号。若x＞0，y＞0，则 ＜0，此时 无意义，当x＜0，y＜0时， = 。也可将 中根号外的非负数平方后移到根号里（此时负号一定要留在根号外）求得结果为 。

　　例9、（2004宁波）已知，a＜0化简 =解：-2

　　说明：原式可整理成 （1）， ≤0，而根号下的数不能为负，所以， =0，故a=1或-1，但a＜0，∴a=-1。把a=-1代入（1）或原式中得0- =0-2=-2

　　例10、设 的小数部分为b，则b(b-1)的值为解：


　　说明：∵2＜ ＜3，∴ 的整数部分为2，小数部分为 -2，即b= -2，将其代入b(b-1)中计算得b(b-1)=( -2)( +2)=( )2-22=1

　　例11、若实数x、y满足 ，求y3的平方根

　　解：根据题意，要使 与 都有意义，必须x-2≥0，6-3x≥0，分别解得x≥2，x≤2，要它们同时成立，只有取x=2，∴y= =4，± =± =±8。

　　说明：一般情况下，一个等式含有两个未知数，未知数的值都是不唯一的。只有特殊情况下，才能求得未知数的确定值。


　　探索与思考
　　1、（国家级新课标实验区首次中考——2004山西）观察下列各式， ， ，……，请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来是。

　　2、借助计算器可求得， ， ，…，仔细观察上面几个式子的运算结果，试猜想 的结果，并验证。

　　3、试化简

　　答案与提示1、 （n≥1，为自然数）

　　提示：仔细观察，不难发现，每个等式等号前根号下的分数部分的分母比前面整数大2，结果中根号外的数比等号前根号下的整数大1，等号前后根号下的分数相同。

　　 3、

　　提示：通过计算， =3， =33， =333，…，从而可猜测 =


　　验证：=====×3=

　　4、

　　提示：题中有双重根号，直接化简，非常困难。根据原式的特点，逆用a= (a≥0)即可将原式化简。

　　∵＞0， ＞0，

　　∴ ＞0，

　　∴==本题也可用方程法，设x= ，两边平方得x²=26，开方得x=± ， 但 ＞0

　　∴x=

刊物名称	《中学数学教学参考》初二、初三学生版（杂志）
主管部位	中华人民共和国教育部
主办单位	陕西师范大学
编辑单位	《中学数学教学参考》编辑部
栏目名称	名师帮你学
出版日期	2005年第1、2期（合刊）
邮发代号	52-273
刊号	ISSN1002-2171——CN61-1032/G4（国内标准刊号）